经典方法解析：GWR地理加权回归及其变式MGWR和GTWR – Jiang's blog —

前言

最近在做城市扩张相关的影响机制研究，要用到地理加权回归，趁此机会就顺便整理一下GWR相关的一些知识。

传统的OLS回归模型没有考虑到各样本之间的空间关系，得到的回归系数与样本的空间位置无关，回归结果是研究区域内的全局“平均值”。全局回归无法反应地理现象中的空间异质性。根据地理学第二定律（空间异质性定律）：“空间的隔离，造成了地物之间的差异，即异质性”。地理加权回归（GWR）是一种适用于“空间非平稳性”地理现象的空间分析方法，是一种局部回归模型。

GWR通过建立空间范围内每个点处的局部回归方程，来探索研究对象在某一尺度下的空间变化及相关驱动因素，并可用于对未来结果的预测。由于它考虑到了空间对象的局部效应，因此其优势是具有更高的准确性。地理加权回归模型是对某个时间点的截面数据进行分析^[1]。

GWR出世之后，还有学者基于它进行改进，搞出了MGWR、GTWR等。话不多说，进入正题。

原理

传统OLS和地理加权

传统的OLS是全局回归模型，形式为：

地理加权回归是对传统OLS的扩展，将数据的空间位置嵌入到回归方程中，形式为：

β_j (μ_i,υ_i )是位置i处的第j个自变量x的回归系数，是关于地理位置的函数，采用核函数计算得到。β_j (μ_i,υ_i )本身是一个关于要素空间位置信息的衰减函数：

一般是坐标信息（x，y）和要素值X带入后就可以得到权重值β，这个值再代入回归方程里计算。W(μ_i,v_i )就是空间权重矩阵。

空间核函数

上面提到的空间权重矩阵是GWR的核心内容，常见的空间核函数有三类：距离阈值法、距离反比法、Gauss函数法，合适的函数选用对回归参数的估计十分重要。

① 距离阈值法：这是最简单的核函数，大于阈值取1，小于阈值取0

② 距离反比法：字面意思

③ Guass函数法：基本思想是通过构造一个连续单调递减函数表示权重与距离的关系，从而克服以上两种函数的缺陷，这种方法比较适用，不过在实验过程中，都可以试试，万一前两种结果更好呢~

式子里面的b就是带宽，复杂来说是：描述权重与距离之间函数关系的非负衰减参数。带宽越大，权重随距离衰减得越慢，反之越快，下图体现得很清楚。距离越近，权重就越高，随着距离增大，权重逐渐衰减。

带宽优化

无论是在Arcgis还是在GWR4中，实现GWR模型的核类型有Fixed和Adaptive两种，如果选Fixed，则需要自己指定带宽，选Adaptive的话，程序会不断重复，直至找到最佳的带宽。带宽方法选择：CV（交叉验证）、AIC&AICc（赤池田信息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）、SI（平稳指数）。其中AICc比较常用，Akaike通过极大似然原理的估计参数方法加以修正，提出了AIC，Brunsdon和Fotheringham将其进一步用于地理加权回归分析中的权函数带宽选择^[1]。